随机 Cholesky QR 分解

本文提出并分析了矩阵 $X$ 的随机 Cholesky QR 分解的若干变体。标准方法由 $X^T X$ 计算 R 因子，而我们由其小而高效可计算的随机草图获得，从而节省计算代价并改善数值稳定性。所提出的直接型随机 Cholesky QR 仅需经典 Cholesky QR 一半的浮点运算量与相同的通信代价。同时它更鲁棒，因为只要输入矩阵数值满秩便保证稳定。秩揭示型随机 Cholesky QR 变体能够挑出 $X$ 的线性相关的列，从而在无条件数值稳定性下，于 $X$ 秩亏时降低计算代价。我们还刻画了一种面向列的随机 Cholesky QR，建立了其与随机 Gram-Schmidt 过程的联系，以及一种约化变体，其输出 Q 因子的低维投影而非完整因子，因此带来显著的计算节省。研究表明，在所提算法中以更高精度执行次要运算，可使稳定性依赖于与工作单位舍入误差无关的主导矩阵维数。该特性对于低精度架构上高瘦矩阵的 QR 分解可能尤为有趣。