关于对称矩阵的 Cholesky 分解、黎曼几何与随机矩阵

对于每个 $n \geq 1$ 和符号模式 $\epsilon \in \{ \pm 1 \}^n$，我们引入实对称矩阵的锥 $LPM_n(\epsilon)$：即其前导 $k \times k$ minors 的符号为 $\epsilon_k$。这些锥两两不相交，其并 $LPM_n$ 是所有对称矩阵中开放且稠密的锥；它们包含正定矩阵、负定矩阵，以及对称（P-、N-、PN-、近 P-、近 N-）矩阵。我们证明每个 $LPM_n$ 矩阵 $A$ 都 admits 一种不可数族的 Cholesky 型分解——得到唯一对角为正数的下三角矩阵 $L$，并具有额外的吸引性质：(i) 每种分解都是算法化的；(ii) 每种 Cholesky 映射 $A \mapsto L$ 是从 $LPM_n(\epsilon)$ 到开放欧几里得球的光滑同胚。随后我们证明 (iii) 这些（同胚）球 $LPM_n(\epsilon)$ 也是等距黎曼流形，同时也是同构的阿贝尔 Lie 群，每个都配有不变的黎曼度量（因此具有黎曼均值/重心）。此外 (iv) 这种在每个 $LPM_n(\epsilon)$ 上的阿贝尔度量群结构——因此 Cholesky 空间上的 log-Cholesky 度量——可正好等距同构于有限维欧几里得空间。其复数版本同样成立。在后半部分，我们证明正定矩阵群 $PD_n$ 配以其双不变的 log-Cholesky 度量，正是更大群 $LPM_n$ 的同一分量。这种情况也适用于 Hermitian 矩阵及其上诸子域 $\mathbb{F} \subseteq \mathbb{C}$。结果而言 (v) 群 $LPM_n^{\mathbb{F}}$ 和 $LPM_\infty^{\mathbb{F}}$ 接受丰富的概率论，锥 $LPM_n(\epsilon), TPM_n(\epsilon)$ 接受带符号 Bartlett 分解的 Wishart 概率密度。