使用 Wald 型统计量时假设矩阵的选择

在多变量 $d$ 维数据分析中，零假设的广泛采用形式为 $\mathcal{H}_0: \boldsymbol{H} \boldsymbol{\theta} =\boldsymbol{y}$，其中 $\boldsymbol{H}$ $\in\mathbb{R}^{m\times d}$，$\boldsymbol{\theta}$ $\in \mathbb{R}^d$ 且 $\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^m$，$m\leq d$。此处未知参数向量 $\boldsymbol{\theta}$ 可以是期望向量 $\boldsymbol{\mu}$、包含回归系数的向量 $\boldsymbol{\beta}$ 或分位数向量 $\boldsymbol{q}$。此外，非参数相对效应向量 $\boldsymbol{p}$ 或上三角向量化协方差矩阵 $\textbf{v}$ 也是有用的选择。然而，即使不将假设乘以标量 $\gamma\neq 0$，仍存在大量使用不同假设矩阵 $\boldsymbol{H}$ 及相应向量 $\boldsymbol{y}$ 表述同一零假设的可能。尽管众所周知，在 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}$ 时存在唯一投影矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使得 $\boldsymbol{H}\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow \boldsymbol{P}\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{0}$，但对于 $\boldsymbol{y}\neq \boldsymbol{0}$ 这样的投影矩阵未必存在。而且，由于此类假设常使用二次型作为检验统计量，相应投影矩阵常含零行，故从计算角度看甚至无效。在本稿件中，我们证明对于最常用的二次型之一 Wald 型统计量（WTS），具体假设矩阵的选择不影响检验决策。此外，进行了若干模拟以考察假设矩阵对计算时间的可能影响。