行列式簇的陈类与特征环

设 $K$ 为特征 $0$ 的代数闭域。对于 $m\ge n$，我们定义 $\tau_{m,n,k}$ 为 $K$ 上核维数 $\ge k$ 的 $m\times n$ 矩阵的集合。这是 $\bbP^{mn-1}$ 的射影子簇，称为（一般）行列式簇。在大多数情况下 $\tau_{m,n,k}$ 是奇异的，其奇异轨迹为 $\tau_{m,n,k+1}$。在本文中，我们给出计算 $\tau_{m,n,k}$ 的 Chern-Mather 类 ($c_M$) 和 Chern-Schwartz-MacPherson 类 ($c_{SM}$) 的显式公式，作为射影空间中的类。我们还获得了这些簇的余法环（conormal cycles）和特征环（characteristic cycles）以及其一般欧几里得距离度（Euclidean Distance degree）的公式。此外，当 $K=\bbC$ 时，我们证明行列式簇的交上同调层（intersection cohomology sheaf）的特征环与其余法环一致（因此不可约）。我们的公式基于 Grassmannian 上通用丛的某些陈类的次数计算。对于一些小的 $m,n,k$ 值，我们使用 Macaulay2 展示 $\tau_{m,n,k}$ 的 Chern-Mather 类、Chern-Schwartz-MacPherson 类和特征环类的例子。基于低维的显式计算，我们提出关于类的有效性以及最大层 $\tau_{m,n,k}\smallsetminus \tau_{m,n,k+1}$ 的 Chern-Schwartz-MacPherson 类中特定项的消失的猜想。交上同调层的特征环的不可约性由 Kashiwara-Dubson 的微局部指标定理、$\tau_{m,n,k}$ 的“Tjurina transform”的研究以及最近 $\tau_{m,n,k}$ 的局部欧拉阻碍（local Euler obstruction）的计算得出。