行列式簇的局部欧拉阻碍与 Chern-Mather 类

对于 $m\geq n$，设 $K$ 为代数闭基域，并定义 $\tau_{m,n,k}$ 为 $K$ 上核维数 $\geq k$ 的 $m\times n$ 矩阵的集合。这是 $\mathbb{P}^{mn-1}$ 的一个射影子簇，通常称为行列式簇。在大多数情况下，$\tau_{m,n,k}$ 是奇异的，其奇异轨迹为 $\tau_{m,n,k+1}$。本文计算了 $\tau_{m,n,k}$ 的局部欧拉阻碍，并证明了 $\tau_{m,n,k}$ 的交上同调复形的特征循环是不可约的。我们还给出了 $\tau_{m,n,k}$ 的 Chern-Mather 类作为射影空间中一个类的显式公式。交上同调特征循环的不可约性源于局部欧拉阻碍的显式计算、对行列式簇的 'Tjurina 变换' 的研究以及 Kashiwara-Dubson 微局部指标定理。我们的显式公式基于对 Grassmann 流形上普遍丛的某些 Chern 类的次数计算。我们使用 Macaulay2 中的 Schubert 2 软件包，针对 $m,n,k$ 的一些小值，展示了 $\tau_{m,n,k}$ 的 Chern-Mather 类和特征循环类的例子。在复数域上，$\tau_{m,n,k}$ 的局部欧拉阻碍最近由 N. Grulha、T. Gaffney 和 M. Ruas 通过复几何方法计算得出。