具有平稳数字的随机变量的刻画

设 $q\ge2$ 为整数，$\{X_n\}_{n\geq 1}$ 为状态空间 $\{0,\ldots,q-1\}$ 上的随机过程，$F$ 为 $\sum_{n=1}^\infty X_n q^{-n}$ 的累积分布函数（CDF）。我们证明 $\{X_n\}_{n\geq 1}$ 的平稳性等价于 $F$ 所满足的一个函数方程，并由此用其Lebesgue分解来刻画 $X$ 的特征函数与 $F$ 的结构。更确切地说，虽然 $F$ 的绝对连续分量只能是单位区间上的均匀分布，其离散分量只能是某些具有有限支撑的可显式计算的概率分布CDF的可数凸组合。我们还证明 $\mathrm{d} F$ 是Rajchman测度当且仅当 $F$ 是 $[0,1]$ 上的均匀CDF。