由辛表示刻画调制空间及其在薛定谔方程中的应用

在过去的二十年里，由 H. G. Feichtinger 于 1983 年引入的调制空间已通过数百篇文献被成功用于信号分析、偏微分方程、伪微分算子、量子力学的研究。2011 年 M. de Gosson 指出，用于定义调制空间的时频表示短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform, STFT）可被 Wigner 分布替代。这一思想在 [9] 中进一步推广到 $\tau$-Wigner 表示。本文将时频表示视为辛矩阵经由亚椭圆算子（metaplectic operators）的像。这一新视角凸显出时频分析的主角是亚椭圆算子与辛矩阵 $\mathcal{A} \in Sp(2d,\mathbb{R})$。我们找到了 $\mathcal{A}$ 的相关条件，使相应的辛时频表示 $W_\mathcal{A}$ 可替代 STFT 并给出加权调制空间的等价范数。特别地，我们研究协变矩阵 $\mathcal{A}$ 的情形，即其对应的 $W_\mathcal{A}$ 属于 Cohen 类。最后，我们展示辛时频表示 $W_\mathcal{A}$ 可高效用于薛定谔方程的研究。这一新方法在量子力学与偏微分方程中可能有进一步应用。