特征上同调 I：给定类型的奇点

对于变种芽 $\mathcal{V}, 0 \subset \mathbb C^N, 0$，一个类型为 $\mathcal{V}$ 的奇点 $\mathcal{V}_0$ 由一个芽 $f_0 : \mathbb C^n, 0 \to \mathbb C^N, 0$ 给出，该芽在适当意义下横截于 $\mathcal{V}$，使得 $\mathcal{V}_0 = f_0^{-1}(\mathcal{V})$。对于这些奇点，我们引入“特征上同调”以捕捉 $\mathcal{V}$ 的拓扑对 $\mathcal{V}_0$ 拓扑的贡献，分别针对 Milnor 纤维（当 $\mathcal{V}, 0$ 为超曲面时）以及 $\mathcal{V}_0$ 的补集和链环（一般情形）。Milnor 纤维与补集的特征上同调分别是 Milnor 纤维、补集上同调的子代数。对固定的 $\mathcal{V}$，它们在类型为 $\mathcal{V}$ 的奇点范畴上是函子的。此外，对 $\mathcal{V}_0$ 的链环，在特征为 0 的域上存在链环上同调的一个特征上同调子群。Milnor 纤维与补集的特征上同调被证明在定义芽 $f_0$ 的 $\mathcal K_{\mathcal{V}}$-等价下不变，相应地，链环的特征上同调在 $f_0$ 的 $\mathcal K_{H}$-等价下不变，其中 $H$ 为 $\mathcal V, 0$ 的定义方程。我们给出一个涉及“消失紧模型”的几何判据，用以检测特征上同调的非零子代数，以及链环对应的非零子群。在本文第二部分中，我们专门讨论方阵奇点情形，其可为一般、对称或反对称矩阵奇点。