随机单变量多项式根的认证计数

计算数学中的一个挑战性问题是计算高次单变量随机多项式的根。我们将求解高次随机多项式的高效多精度实现与两种认证方法相结合，即 Smale 的 $\alpha$-理论和基于 Gerschgorin 定理的方法，以证明给定的数值近似位于某个精确解的 Newton 法二次收敛区域内。通过这种组合，我们可以认证地计数随机多项式的实根数量。我们量化了两种认证过程之间的差异，并列出了它们各自的显著特征。在对系数服从 Gaussian 分布的随机多项式进行基准测试后，我们获得了 Cauchy 分布情况下的新颖实验结果。