某些连续和离散均匀分布的质心与最优量化器

在本文中，我们首先考虑一个具有均匀密度 $\rho$ 且占据平面区域 $\mathfrak R$ 的平板（称为薄板）。我们证明，该区域的质心（也称为形心）位置等于在该区域 $\mathfrak R$ 上取值的具有均匀概率分布的二元连续随机变量的期望向量。利用这一性质，我们证明了关于定义在圆盘上的均匀分布的最优二均值集合的 Voronoi 区域将圆盘划分为由半圆界定的两个区域。此外，我们表明，如果一个等腰三角形按黄金比例被划分为一个等腰三角形和一个等腰梯形，那么它们的质心构成该三角形的质心 Voronoi 镶嵌。此外，利用质心的性质，我们确定了定义在由菱形界定的均匀密度区域上的均匀分布的最优二均值集合及其相应的量化误差。进一步地，对于某些正整数 $n\leq \text{card(supp}(P))$，我们确定了两种不同离散均匀分布的最优 $n$ 均值集合和第 $n$ 量化误差。