Cartan 路径发展、对数签名及 Lyons-Sidorova 猜想

签名变换以所有阶数的迭代路径积分形式定义，提供了树化简几何粗路径群的忠实表示。虽然签名系数已知以阶乘速度衰减，但对数签名系数通常仅具有几何衰减。Lyons 和 Sidorova conjectured 唯一具有有界变差 (BV) 且其对数签名收敛半径为无穷的树化简路径为直线。这一猜想在特定类型的路径上已被证实，一般 BV 情况仍未解决。本文旨在深入理解 Lyons-Sidorova 猜想。我们证明，如果对数签名具有无穷收敛半径，则签名系数必须满足一个由沿复指数单形式的迭代积分定义的无限系综刚性代数身份。这些迭代积分身份对底层路径施加强大的几何约束，在某些特殊情况下可确认该猜想。作为积分身份的非平凡应用，我们证明了一个加强版的猜想，即若 BV 路径的对数签名在所有时间子区间上均具有无穷收敛半径，则该路径必为直线。我们的 метод论依赖于 Cartan 将路径映射到复半单 Lie 代数 $\mathfrak{sl}_m(\mathbb{C})$ 上的路径发展。$\mathfrak{sl}_m(\mathbb{C})$ 的特殊根模式允许将无限维 Baker-Campbell-Hausdorff (BCH) 公式以非常特殊的有限维方式投影，以得出 BCH 类奇点与特定迭代路径积分消失之间的有意义的定量关系。