通过其 Magnus 展开的乘子曲面特征

在过去十年中，路径特征的概念在数据科学应用中取得了显著成功。它提供了一套强大的特征，有效地捕捉和描述路径或序列数据的特征。这部分解释了路径特征可以线性时间内计算的事实，基于 Chen 恒等式的动态规划原理。路径特征可视为特定的乘积或时序/路径有序积分。换言之，它代表了一个基于路径上迭代积分构建的单参数对象。定义曲面的特征需要考虑曲面上的迭代积分，实际上会引入额外的参数， resulting in 一个两参数特征。这种扩展特征本质上与 Stokes 定理的非交换推广有关，这与 crossed 模块的概念密切相关。后者在更高阶规范理论中提供了一个成熟的框架，其中具有反馈映射并具有非平凡内核的 crossed 模块，结合多参数迭代积分发挥关键作用。基于 Kapranov 的工作，我们通过引入曲面特征的对数特征的类比，构建了一种类似于 Magnus 公式的曲面特征对数 logarithm 的公式。该表达式取值于由自由 Lie 代数定义的自由 crossed 模块 Lie 代数中。我们进一步证明了适用于 crossed 模块情境的非交换缠合引理，并给出了在所谓 Young-H"older 正则性 regime 中的粗糙曲面定义以及相应的连续延拓定理。这种方法使得能够分析和计算超出沿曲面边界线积分所能表达的曲面特征。