纯原子测度的基数函数

设 $\mu$ 为纯原子测度。以 $f_\mu:[0,\infty)\to\{0,1,2,\dots,\omega,\mathfrak{c}\}$ 表示其基数函数 $f_{\mu}(t)=\vert\{A\subset\mathbb N:\mu(A)=t\}\vert$。我们研究对于哪些集合 $R\subset\{0,1,2,\dots,\omega,\mathfrak{c}\}$ 存在测度 $\mu$ 使得 $R$ 为 $f_\mu$ 的值域。我们也对由 $\mu$ 值中唯一获得的那些值的集合论与拓扑性质感兴趣。