能否取走 Akemann--Weaver 的 $\diamondsuit_{\aleph_1}$?

由 Glimm 二分法可知,一个可分的、单的 $\textrm{C}^*$-代数具有连续统多个酉不等价的不可约表示,当且仅当它是非 I 型的;而其所有不可约表示均酉等价,当且仅当它是 I 型的。Naimark 问后者等价是否对所有 $\textrm{C}^*$-代数成立。2004 年,Akemann 与 Weaver 利用 Jensen 的菱形公理 $\diamondsuit_{\aleph_1}$(一个蕴含连续统假设($\mathsf{CH}$)的强对角化原理)对 Naimark 问题给出了否定回答。由 Rosenberg 的一个结果,一个具有唯一不可约表示的可分表示单 $\textrm{C}^*$-代数必为 I 型。我们通过构造一个可分表示单 $\textrm{C}^*$-代数的例子说明该结果是尖锐的:该代数恰有两个不等价的不可约表示,因此不满足 Glimm 二分法的结论。我们的构造使用了 Jensen 的 $\diamondsuit_{\aleph_1}$ 的一个弱化,记为 $\diamondsuit^\mathsf{Cohen}$,它在 Cohen 最初的否证 $\mathsf{CH}$ 的模型中成立。我们还证明了 $\diamondsuit^\mathsf{Cohen}$ 足以对 Naimark 问题给出否定回答。我们的主要技术工具是一个力迫概型,它泛性地添加一个给定 $\textrm{C}^*$-代数的自同构,并在其纯态空间上具有指定的作用。