六顶点模型中常数因子的计算

在本文中，我们显式计算了六顶点模型配分函数 $Z_N$ 在大 $N$ 渐近行为中的常数因子 $C$，该模型具有域壁边界条件，且处于无序相与铁电相之间的临界线上。在临界线上，模型的权重 $a,b,c$ 由参数 $\al>1$ 参数化为 $a=\frac{\al-1}{2}$，$b=\frac{\al+1}{2}$，$c=1$。Bleher 和 Liechty 在文献 \cite{BL2} 中此前已获得了临界线上 $Z_N$ 的渐近行为：$Z_N=CF^{N^2}G^{\sqrt{N}}N^{1/4}\big(1+O(N^{-1/2})\big)$，其中 $F$ 和 $G$ 由显式表达式给出，但常数因子 $C>0$ 未知。为了计算常数 $C$，我们利用 Riemann-Hilbert 方法，找到了 $Z_N$ 在双标度极限下的渐近行为，即 $N$ 和 $\al$ 同时趋于 $\infty$ 且满足 $\frac{N}{\al}\to t\ge 0$。随后，我们应用关于 tau 函数的 Toda 方程找到了 $C$ 作为 $\al$ 函数的结构形式，并结合 $C$ 的结构形式与 $Z_N$ 的双标度渐近行为计算出了 $C$。