仙人掌、帕斯卡与帕帕斯点线配置：代数几何视角

我们研究点线配置及其相关的matroid和circuit variety。旨在找到matroid variety的有限定义方程集，以及circuit variety的不可约分解。在解决前者问题时，我们使用包括Grassmann-Cayley代数和可提升技术在内的一些经典代数几何技术。由此，我们分别导出Sidman、Traves和Wheeler引入的Grassmann-Cayley理想，以及Liwski、Mohammadi、Clarke和Masiero引入的提升理想。由于circuit ideal、Grassmann-Cayley ideal和lifting ideal都包含在matroid ideal中，并且已知这些理想的显式生成器，自然会提出这样一个问题：识别哪些点线配置使得matroid ideal的生成集由circuit多项式、Grassmann-Cayley多项式和lifting多项式组成。在这些点线配置中，我们获得了matroid variety的显式且有限的描述。在本论文中，我们证明了仙人掌配置、帕斯卡配置和帕帕斯配置的matroid ideal可以由这三类多项式生成。为了找到点线配置的circuit variety的不可约分解，我们使用Clarke、Grace、Mohammadi和Motwani开发的分解策略。如果点线配置中有一些点位于最多两条直线上，我们还开发了更简洁的替代方法。我们找到了仙人掌配置的此类分解（至少不包含冗余），此外我们找到了帕斯卡配置以及第三个配置$9_3$的不可约分解——该配置包含九个点和九条直线，使得每个点都在三条直线上，每条直线包含三个点。