整数 Stone-Čech 紧化上的 $C^\infty$ 函数

我们构造了一个光滑函数代数 $A=\ell^{\infty \infty}({\Bbb Z})$，它在整数 $\Bbb Z$ 上 sup-范数有界函数的逐点乘法代数 $\ell^\infty({\Bbb Z})$ 中稠密。代数 $A$ 真包含代数 $A_c=\ell_c^\infty({\Bbb Z})$ 与理想 ${\cal S}({\Bbb Z})$ 之和，其中 $A_c$ 是 $\ell^\infty({\Bbb Z})$ 中投影算子的有限线性组合构成的代数，${\cal S}({\Bbb Z})$ 是 Schwartz 函数的逐点乘法代数。代数 $A$ 被刻画为那些在 $\Bbb Z$ 的 Stone-${\check {\rm C}}$ech 紧化中每一点处“一阶导数”迅速消失的函数集合。