布彻级数：有根树与演化方程数值方法的故事
数值分析
2018-09-05 v3
摘要
当常微分方程的龙格-库塔方法被展开为步长参数的幂级数时，会出现布彻级数。布彻级数中的每一项由一个加权基本微分组成，且如凯莱在19世纪中叶指出的，所有此类微分的集合与有根树的集合同构。一个世纪后，布彻发现的有根树也可用于获取龙格-库塔方法的阶条件，并且他找到了一种自然群结构，即今所称的布彻群。现已知道许多数值方法也可展开为布彻级数；这些被称为B级数方法。一个长期存在的问题是如何用定性特征刻画所有B级数方法。在此我们讲述布彻级数的故事，从凯莱的早期工作，到现代发展及其与抽象代数的联系，最终到刻画问题的求解。该求解将几何工具和视角引入了一个传统上用分析与组合学探索的领域。
引用
@article{arxiv.1512.00906,
title = {Butcher series: A story of rooted trees and numerical methods for evolution equations},
author = {Robert I McLachlan and Klas Modin and Hans Munthe-Kaas and Olivier Verdier},
journal= {arXiv preprint arXiv:1512.00906},
year = {2018}
}
备注
16 pages, intended for a general mathematical audience