德西特空间中无质量最小耦合标量场的BRST量子化（零模、欧几里得化与量子化）

我们考虑四维球面 $S^4$ 上的无质量标量场。其经典作用量 $S={1\over 2}\int_{S^4} dV (\nabla \phi)^2$ 在全局不变性 $\phi \to \phi + \hbox{constant}$ 下是简并的。然后，我们通过构建BRST不变的量子作用量，将无质量标量场作为规范理论进行量子化。相应的规范破坏项是非局域的，形式为 $S^{\rm GB}={1\over {2\alpha V}}\bigl(\int_{S^4} dV \phi \bigr)^2$，其中 $\alpha$ 是规范参数，$V$ 是 $S^4$ 的体积。这使我们能够正确处理零模问题。量子理论在 $S^4$ 的对称群 SO(5) 下是不变的，并且相关的两点函数没有红外发散。因此，通过取有质量标量场传播子的无质量极限而出现的著名红外发散是一个规范赝象。相比之下，德西特空间 $dS^4$（$S^4$ 的洛伦兹版本）上的无质量标量场理论在该时空的对称群 SO(1,4) 下不是不变的。在这里，红外发散是真实的。因此，$S^4$ 和 $dS^4$ 上的无质量标量量子场论不能通过解析延拓联系起来。在这种情况下，由于零模的存在，量子场论的欧几里得方法不起作用。类似的考虑也适用于质量参数取特殊值（对应于德西特群的离散序列）时的有质量标量场理论。