树双曲空间上的布朗运动：逃逸至无穷远

树双曲空间是 Sol 几何的类比，即双曲上半平面$\mathbb{H}$与度数为$p+1 > 2$的齐次树$T$（后者视为一维复形）的 horocylic 积。设$h$是$T$关于固定边界点的 Busemann 函数。则对于实数$q > 1$和整数$p > 1$，树双曲空间$HT(q,p)$由$\mathbb{H} \times T$中满足$h(w) = \log_{q} y$的所有对$(z=x+iy, w)$组成。它也可以通过以树状方式粘合$\mathbb{H}$的水平条带获得。我们解释了$HT$的几何与度量，并展示了一个局部紧的等距群（仿射群的 horocyclic 积），该群作用具有紧商空间。当$q=p$时，该群包含可均的 Baumslag-Solitar 群$BS(p)$作为余紧格；而当$q$和$p$不同时，它是可均的但非单模的。$HT(q,p)$是我们之前在《Advances in Mathematics》226 (2011) 992-1055 发表的论文中所定义的条带复形的一个关键例子。依托于该论文中发展的条带复形分析，我们考虑了一类具有“垂直漂移”的自然拉普拉斯算子，并描述了相关的布朗运动。主要困难源于树双曲空间（如同任何条带复形一样）沿其分叉线具有的奇点。在第一部分中，我们获得了逃逸速率和中心极限定理，并描述了布朗运动如何收敛到自然的几何无穷远边界。后续工作将致力于正调和函数。