梳理 Klee 测度问题特殊情形的次序

Klee 测度问题（KMP）旨在求 $d$ 维空间中 $n$ 个轴对齐长方体并集的体积。忽略对数因子，目前最优算法的运行时间为 $O^*(n^{d/2})$ [Overmars,Yap'91]。已知针对若干特殊情形存在更快的算法：Cube-KMP（所有长方体均为正方体）、Unitcube-KMP（所有长方体均为边长相等的正方体）、Hypervolume（所有长方体共享一个顶点）以及 k-Grounded（在前 $k$ 维上的投影为一个 Hypervolume 实例）。本文通过提供这些特殊情形之间的归约，梳理了它们的次序。除了平凡的包含关系外，我们确立了 Hypervolume 是这些特殊情形中最容易的，并证明了 Unitcube-KMP 与 Cube-KMP 的运行时间存在多项式相关性。更重要的是，我们证明了针对其中任一特殊情形且运行时间为 $T(n,d)$ 的算法，蕴含着针对一般情形且运行时间为 $T(n,2d)$ 的算法，从而得出了 KMP 与其特殊情形之间的首个非平凡关系。这使得能够将 KMP 的 W[1]-困难性传递到所有特殊情形，证明了在合理的复杂度理论假设下，任何特殊情形都不存在 $n^{o(d)}$ 算法。此外，假设 KMP 一般情形不存在改进算法（即不存在运行时间为 $O(n^{d/2 - eps})$ 的算法），该归约表明任何特殊情形都不存在运行时间为 $O(n^{floor(d/2)/2 - eps})$ 的算法。在同一假设下，我们证明了最近针对 2-Grounded [Yildiz,Suri'12] 的一种算法的紧下界。