高维Klee测度的自适应计算

$\mathbb{R}^d$ 中 $n$ 个轴平行盒子的 KLEE'S MESURE（Klee测度）是其并集的体积。在最坏情况下，它可以在 $O(n^{d/2})$ 时间内计算。我们描述了三种加速其计算的技术：一种基于输入的某种“退化”，另两种基于输入结构的固有“简易性”。第一种技术受益于极大点规模 $h$ 较小的实例，并产生运行时间在 $O(n\log^{2d-2}{h}+ h^{d/2}) \subseteq O(n^{d/2})$ 内的解。第二种技术利用没有 $d$ 维轴对齐超平面在某个维度与多于 $k$ 个盒子相交的实例，并产生运行时间在 $O(n \log n + n k^{(d-2)/2}) \subseteq O(n^{d/2})$ 内的解。第三种技术利用输入的交图具有小树宽 $\omega$ 的实例。它产生一般在 $O(n^4\omega \log \omega + n (\omega \log \omega)^{d/2})$ 内运行的算法，而如果给定交图的最优树分解，则在 $O(n \log n + n \omega ^{d/2})$ 内运行。我们展示了如何将这些技术结合在一个利用所有三种配置的算法中。