组合设计与超团相遇：维度 $d\ge 4$ 下 Klee 测度问题及相关问题的更高下界

Klee 测度问题（计算 $\mathbb{R}^d$ 中 $n$ 个轴平行盒子并集的体积）众所周知具有 $n^{\frac{d}{2}\pm o(1)}$ 时间算法（Overmars, Yap, SICOMP'91；Chan FOCS'13）。直到最近，才针对 $d=3$ 给出了一个条件下界（不限于“组合”算法）（Künnemann, FOCS'22）。这一结果能否推广为维度 $d\ge 4$ 的紧下界？本文中，我们使用一种称为前缀覆盖设计的组合对象形式化了 $d=3$ 时紧下界的技术。我们表明，这些在精神上类似于组合设计的设计可直接转化为 Klee 测度问题及各种相关问题的条件下界。通过设计良好的前缀覆盖设计，我们对 $\mathbb{R}^d$ 中的 Klee 测度问题、$\mathbb{R}^d$ 中轴平行盒子的深度问题、$\mathbb{R}^{2d}$ 中最大体积/最大周长空（锚定）盒子问题及相关问题给出如下下界：— $d=4$ 时为 $\Omega(n^{1.90476})$，— $d=5$ 时为 $\Omega(n^{2.22222})$，— 一般 $d$ 时为 $\Omega(n^{d/3 + 2\sqrt{d}/9-o(\sqrt{d})})$，假设 3-一致超团假设成立。对于 Klee 测度问题和深度问题，这些界分别改进了先前的 $\Omega(n^{1.777...})$、$\Omega(n^{2.0833...})$ 和 $\Omega(n^{d/3 + 1/3 + \Theta(1/d)})$ 下界。我们改进的前缀覆盖设计通过以下方式获得：（1）利用基于问题特定见解和 SAT 求解器的计算机辅助搜索；（2）展示如何将文献中已知的组合覆盖设计转化为强前缀覆盖设计。相反，我们表明使用该证明技术我们的下界已接近最优可能。