盒子与多面体偏差的更紧界

组合偏差是集合族的一个复杂性度量，量化了该族中的集合能被同时平衡的程度。更精确地，给定一个n点集 $P$，以及 $P$ 的子集族 $\mathcal{F} = \{F_1, ..., F_m\}$，我们的目标是用红、蓝两色对 $P$ 着色，使得在 $F_i$ 上红色元素数与蓝色元素数之差的绝对值（即偏差）的最大值最小化。组合偏差在数学和计算机科学中有许多应用，包括一致分布点集的构造，以及数据结构和私有数据分析算法的下界。我们研究几何定义系统的组合偏差，其中 $P$ 是 $d$ 维空间中的n点集，$\mathcal{F}$ 是由固定凸多面体 $B$ 的膨胀和平移所诱导的 $P$ 的子集族。此类集合系统包含由轴对齐盒子诱导的集合系统，其偏差是著名的Tusnady问题的主题。我们通过扩展作者与Matousek先前基于因子范数的方法，证明了此类集合系统的新偏差上下界。利用Banaszczyk关于向量符号级数的结果，我们将Tusnady问题已知最好的上界改进了一个对数因子。通过使用Matousek的分解，我们将此改进推广到任意凸多面体 $B$。利用傅里叶分析技术，我们还证明了由满足某技术条件的任意固定有界多面体 $B$ 诱导的集合的近乎匹配的偏差下界。我们还概述了我们的结果在几何偏差、数据结构下界和差分隐私中的应用。