Brenke 多项式的实数零点与黎曼假设

若 $A(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ 和 $B(z)=\sum_{n=0}^\infty b_nz^n$ 为两个形式幂级数，且 $a_n,b_n\in \mathbb{R}$，则由生成函数 $$A(z)B(xz)=\sum_{n=0}^\infty p_n(x)z^n$$ 定义的多项式序列 $(p_n)_n$ 称为由 $A$ 生成、关联于 $B$ 的 Brenke 多项式。我们称 $A\in \mathcal{R}_B$ 若 Brenke 多项式序列 $(p_n)_n$ 仅具有实数零点。在本文中，我们找到了关于 $B$ 的必要充分条件，使得 $\mathcal{R}_B=\mathcal{L}\text{-}\mathcal{P}$，其中 $\mathcal{L}\text{-}\mathcal{P}$ 表示 Laguerre-Pólya 类（整个函数类）。这些结果可视为对 Brenke 多项式的伊生斯、波利ya 与 舒尔 characterization $\mathcal{R}_{e^z}=\mathcal{L}\text{-}\mathcal{P}$（针对 Appell 多项式）的扩展。当将 our 结果应用于黎曼zeta函数的一个相关函数时，我们发现了黎曼假设在某些 Brenke 多项式序列实根性质中的若干新等价条件。