多面体上凸函数与$m$-单调函数的括号数

我们研究了在$L_p$范数下有界凸函数空间的括号覆盖数。括号数是理解许多统计非参数估计量渐近行为的关键量。对于还具有固定Lipschitz约束的有界函数类，上确界距离下的括号数上界已知。然而，在大多数相关设定中，出现的函数类不包含Lipschitz约束，因此基于已知括号数的标准技术无法使用。本文中，我们找到了任意多面体上无Lipschitz约束的凸函数类的括号数上界。我们的结果在许多基于凸性形状约束的多维估计问题中尤为有趣。此外，我们展示了证明方法的其他应用；特别地，我们定义了一类新的多元函数，即所谓的$m$-单调函数。此类函数在单变量情形已在数学与统计中被考虑，但在多变量情形从未被研究。我们展示了关于凸括号数上界的证明如何也适用于$m$-单调情形。