Delone集正则半径的界

Delone集是 $\mathbb{R}^d$ 中的离散点集 $X$，由参数 $(r,R)$ 刻画，其中（通常）$2r$ 是 $X$ 的最小点间距，$R$ 是可插入 $X$ 间隙中的最大“空球”的半径。正则半径 $\hat{\rho}_d$ 定义为最小正数 $\rho$，使得每个具有半径 $\rho$ 的全等簇的Delone集都是正则系统，即晶体学群作用下的点轨道。我们讨论关于正则半径增长行为的两个猜想。我们的“弱猜想”指出，当 $d\rightarrow\infty$ 时 $\hat{\rho}_{d}={{\rm O}(d^2\log d)}R$，且与 $r$ 无关。本文对Delone集的两个重要子族验证了这一点：具有半径 $2r$ 的满维簇的族，以及具有满维 $d$-可达点集的族。我们也对一个“强猜想”的合理性提供了支持，该猜想指出当 $d\rightarrow\infty$ 时 $\hat{\rho}_{d}={{\rm O}(d\log d)}R$，且与 $r$ 无关。