Segre-Harbourne-Gimigliano-Hirschowitz猜想下的平面线性系统有界性结果

设 $X_n$ 为在 $n \geq 10$ 个一般点上爆破的射影平面。本文给出了Segre-Harbourne-Gimigliano-Hirschowitz猜想的若干推论，这些推论涉及 $X_n$ 上的完全线性系统。我们首先根据伴随系统 $|C+mK|$ 的不变量，对具有一般不可约成员且亏格 $g \geq 2$ 的此类系统 $|C|$ 进行分类（直至Cremona等价）。然后利用这一分类证明，对于固定的 $n \geq 10$ 和 $g\geq 2$，在Cremona群作用下，$X_n$ 上存在有限多个完全线性系统，其一般成员是亏格 $g$ 的不可约曲线。进一步地，存在一个函数 $g\mapsto n(g)$，使得每个这样的（有效）系统都Cremona等价于 $X_{n(g)}$ 上的一个系统。后一个结果基于对给定 $n$ 和 $\dim(|C|)$ 的不可约线性系统的最小可能自交数的显式计算。我们对达到最小自交数的系统进行了分类。我们还对满足 $C^2 \leq 5$ 的系统进行了分类，无论它们对于给定的 $n$ 和维数是否具有最小的 $C^2$。最后，我们证明了关于无基点系统以及给出到其像的双有理映射的系统的若干结论。