Fourier 积分算子在 $\mathcal{F} L^p$ 空间上的有界性

我们研究了 H{"o}rmander 型 Fourier 积分算子 (FIOs) 在 ${\mathcal{F}} L^p({\mathbb {R}}^d_{comp}$ ($1\leq p\leq\infty$) 上的作用。从 Beurling-Helson 定理可以看出，一般来说，当 $p\not=2$ 时，零阶 FIOs 在这些空间上不是有界的，其反例由任何光滑的非线性变量变换给出。在此我们证明，阶数为 $m=-d|1/2-1/p|$ 的 FIOs 则是有界的。此外，证明了这种导数损失在每一维 $d\geq1$ 中都是尖锐的，即使对于在对偶变量中呈线性的相位也是如此。证明利用了时频分析中的工具，如调制空间理论。