有理多胞形的边界 $h^\ast$-多项式

若 $P$ 是维数为 $d$ 的格点多胞形（即 $P$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中有限多个整数点的凸包），Ehrhart 的著名定理（1962）断言整数点计数函数 $|nP \cap \mathbb{Z}^d|$ 是整数变量 $n$ 的 $d$ 次多项式。等价地，生成函数 $1 + \sum_{n\geq 1} |nP \cap \mathbb{Z}^d| \, z^n$ 是形如 $\frac{ h^\ast(z) }{ (1-z)^{ d+1 } }$ 的有理函数；我们称 $h^\ast(z)$ 为 $P$ 的 $h^\ast$-多项式。关于 $h^\ast$-多项式已有若干已知的必要条件，包括 Hibi（1990）、Stanley（1991）和 Stapledon（2009）的结果，他们利用了给定多胞形的算术（整数点结构）与拓扑（三角剖分的局部 $h$-向量）数据之间的相互作用。我们引入一种替代性方案，通过多胞形边界的 $h^\ast$-多项式来理解 Ehrhart 理论，以统一的方式重新得到上述所有结果及其对有理多胞形的推广。我们包含了针对（有理）Gorenstein 多胞形与有理 Ehrhart 膨胀的应用。