粗邻近空间的边界与紧化边界

在本文中，我们引入粗邻近空间 $(X,\mathcal{B},{\bf b})$ 的边界 $\mathcal{U}X$。该边界是某个 Smirnov 紧化边界的子集。我们证明 $\mathcal{U}X$ 是紧 Hausdorff 空间，并且局部紧 Hausdorff 空间的每个紧化都诱导出一个粗邻近结构，其对应边界即为该紧化的边界。进而我们证明许多著名紧化的边界都作为粗邻近空间的边界出现。特别地，我们给出四种粗邻近结构，其边界分别为 Gromov、视觉、Higson 和 Freudenthal 边界。