布尔维数、分支与块

我们研究布尔维数关于分支与块的行为。为将我们的结果置于背景中,我们注意到对于Dushnik-Miller维数,若偏序集P的每个分支C满足$\dim(C)\le d$,则$\dim(P)\le \max\{2,d\}$;此外若偏序集P的每个块B满足$\dim(B)\le d$,则$\dim(P)\le d+2$。作为对比,局部维数关于分支表现良好,但对块则不然:若偏序集P的每个分支C满足$\text{ldim}(C)\le d$,则$\text{ldim}(P)\le d+2$;然而,对每个$d\ge 4$,存在一个偏序集P满足$\text{ldim}(P)=d$且P的每个块B满足$\dim(B)\le 3$。在本文中我们证明布尔维数关于分支与块均表现得如同Dushnik-Miller维数:若P的每个分支C满足$\text{bdim}(C)\le d$,则$\text{bdim}(P)\le 2+d+4\cdot2^d$;此外若P的每个块满足$\text{bdim}(B)\le d$,则$\text{bdim}(P)\le 19+d+18\cdot 2^d$。