特征值与特征向量逼近的块子空间展开

设 $A\in\mathbb C^{n\times n}$，且设 $\mathcal X\subset \mathbb C^n$ 为对应于外部特征值的 $A$-不变子空间，满足 $\dim \mathcal X=d\geq 1$。给定初始子空间 $\mathcal V\subset \mathbb C^n$ 且 $\dim \mathcal V=r\geq d$，我们搜索形式为 $\mathcal V+A(\mathcal W_0)$ 的 $\mathcal V$ 的展开，其中 $\mathcal W_0\subset \mathcal V$ 使得 $\dim \mathcal W_0\leq d$，且展开后的子空间比初始的 $\mathcal V$ 更接近 $\mathcal X$。我们证明存在（理论上）最优的 $\mathcal W_0$ 选择，即 $\theta_i(\mathcal X,\mathcal V+A(\mathcal W_0))\leq \theta_i(\mathcal V+A(\mathcal W))$ 对所有 $\mathcal W\subset \mathcal V$ 且 $\dim \mathcal W\leq d$ 成立，其中 $\theta_i(\mathcal X,\mathcal T)$ 表示 $\mathcal X$ 与 $\mathcal T$ 之间的第 $i$ 小主角。我们将这些最优展开与由 $A$ 和 $\mathcal V$ 生成的块 Krylov 子空间联系起来。我们还证明，当 $A$ 为 Hermitian 且 $\mathcal X$ 为简单特征值时，这些展开构造的相应迭代子空间序列可以对 $\mathcal X$ 进行任意精度的逼近。我们进一步引入可计算的此类构造的版本并计算了几个数值实例，展示了可计算算法的性能并检验了我们的收敛分析。