曲面的双切平面及其在热力学中的应用

经典的 van der Waals 方程应用于一种或两种混合流体时，结合 Helmholtz（自由）能函数 $A$，在固定温度 $T$ 下，于平面 $\mathbb{R}^2$（单流体）或三维空间 $\mathbb{R}^3$（二元流体）中给出一条曲线或一个曲面。与该曲线在两处相切的直线（双切线），或与该曲面在两处相切的平面集合（双切平面）具有经典文献中已有充分记载的热力学意义。双切平面的接触点在 $\mathbb{R}^3$ 曲面上描出“双结点曲线”。对这些双切线的研究同样经典，始于 $19^{\rm th}$ 世纪末的 D.J. Korteweg 与 J.D. van der Waals，并延续至今。本文概述热力学背景及其他数学研究，进而提出一种新数学方法，对 $\mathbb{R}^3$ 中出现双切线的广泛情形进行分类。特别地，我们借助奇点理论技术，得以印证 Korteweg 等人观测到的双结点曲线图中的诸多细节。