广义 Hessenberg 簇的双有理几何与广义 Shareshian-Wachs 猜想

我们引入广义 Hessenberg 簇并建立基本事实。我们证明对称群 $S_n$ 在 Hessenberg 簇上同调上的 Tymoczko 作用扩展到广义 Hessenberg 簇，且它们之间的自然态射保持该作用。通过分析广义 Hessenberg 簇之间的自然态射和双有理映射，我们给出了 Shareshian-Wachs 猜想的一个初等式证明。此外，我们提出一个涉及广义 Hessenberg 簇的 Shareshian-Wachs 猜想的自然推广并给出初等式证明。作为副产品，我们提出一个关于加权图的广义 Stanley-Stembridge 猜想。我们对广义 Hessenberg 簇双有理几何的研究使我们能够通过显式的爆破序列或射影丛映射将它们改造为简单得多的簇，如射影空间或置换体簇。利用这一点，我们提供了两个算法来计算广义 Hessenberg 簇上同调上的 $S_n$-表示。作为一个应用，我们计算了一些 Hessenberg 簇低阶上同调上的表示。