长度为 $n$ 且含 $x$ 个 0 与最长 $k$-零游程的二元串

本文研究 $F_{n}(x,k)$，即长度为 $n$ 包含 $x$ 个零且最长零子串长度为 $k$ 的二元串的数目。推导了 $F_{n}(x,k)$ 的递推关系。我们用 $F_{n}(x,k)$ 表达了若干已知数，如 Fibonacci 数、三角数、无 $r$-连续 1 的长为 $n$ 的二元串数目，以及最大加数为 $k+1$ 的 $n+1$ 的有序分拆数。对于 \^F$_{n}(x,k)$（即长度为 $n$ 包含 $x$ 个零且最长 $k$-零游程的所有回文二元串的数目）获得了类似的结果与应用。