双交换子与导子的值域

设 $V$ 为域 $F$ 上的向量空间，$V^*$ 为其对偶空间，$L(V)$ 为 $V$ 上所有线性算子构成的代数。对于算子 $a\in L(V)$，令 $a*$ 为其作用在 $V^*$ 上的伴随算子；对于 $L(V)$ 的子集 $R$，令 $R"$ 为其双交换子。若 $R$ 是由算子 $a$ 生成的 $L(V)$ 的子代数，我们证明集合 $Z:={b*: b\in R}"$ 包含于 ${b*: b\in R"}$；此外还描述了 $Z$。如果 $V$ 作为多项式代数 $R=F[t]$（通过 $t\mapsto a$）上的模足够好（例如是挠模、内射模，或包含 $R$ 作为直和项），则该包含关系为相等关系。进一步，在关于 $V$ 的相同假设下，对于任意 $b\in L(V)$，$b\in(a)"$ 当且仅当导子 $d_a$ 和 $d_b$ 满足 $d_b(F(V))\subseteq d_a(F(V))$，其中 $F(V)$ 是 $V$ 上所有有限秩算子的集合。在这些条件下，包含关系 $d_b(L(V))\subseteq d_a(L(V))$ 也成立。