平凡路径割积面的Betti数与一个递推猜想

对于图 $G$ on $[n]$，其 $k$ 割复合体 $\Delta_k(G)$ 的面由 $[n]\setminus T$ 组成，其中 $T$ 为 $G$ 中所有断开的 $k$ 顶点诱导子图。Bayer、Denker、Jeli\'c Milutinovi\'c、Sundaram 和 Xue 证明了平凡路径 $P_n^2$ 的 $k$ 割复合体在 $n\ge k+3$ 时可壳化，并 conjectured 其顶级简化Betti数在每个对角线 $n-k=r$ 上的有限差分递推式。我们通过给出确切公式 $\beta(k,n)=\binom{n-1}{k-1}-\sum_{j=0}^{\min\{k-1,n-k\}}\binom{k-1}{j}(n-k-j+1)+(n-k)$ 证明了该递推，其中 $r=n-k\ge3$。等价地，对于固定的 $r\ge3$，对角线序列 $B_r(k)=\beta(k,k+r)$ 是 $k$ 的次数为 $r-1$ 的多项式，因此 $\nabla^rB_r(k)=0$。该证明使用互补面枚举：在大小至少为 $k$ 的互补集中，所有“差的”互补集的大小为 $k$ 或 $k+1$，它们分别是 $P_n^2$ 中连通的 $k$ 子集和长度为 $k+1$ 的区间。相同的公式也证明了 $k=4,5$ 的 conjectures 对应的闭形式。