论少项式、整点及 Bertini 定理的环面版本

Erd\H{o}s 和 R\'enyi 的一个古老猜想（由 Schinzel 证明）预测了当多项式$g(x) \in \mathbb{C}[x]$的平方$g(x)^2$具有给定数量的项时，$g(x)$的项数界限。随后出现了更多的猜想和结果，但一些基本问题仍未解决。在本文中，利用看似全新的方法，我们在完全一般的代数方程$f(x,g(x))=0$方向上取得了最终结果，其中$f(x,y)$在$y$中是任意次数的首一多项式，且在$x$中具有有界数量的项：我们证明了此类$g(x)$的项数必然是有界的。这将以前的结果作为极其特殊的情况包含在内。我们将具有有界项数的多项式解释为给定环面$\mathbb{G}_{\mathrm{m}}^l$上有界次数的正则函数在单参数子群或陪集上的限制。这种观点将在$\mathbb{G}_{\mathrm{m}}^l$的有限覆盖背景下导出一些最优推论，涉及它们在函数域上的整点结构（秉承 Vojta 猜想的精神）以及代数乘法陪集上方的 Bertini 型不可约定理。另一个自然的解读出现在非标准算术中，其中我们的结果转化为非标准多项式环内的代数和整闭性陈述。