巴拿赫环中元素的 Berkovich 谱

借鉴超度量巴拿赫代数中元素 $a$ 的谱 $\Sigma_a$ 的概念（由 Berkovich 定义），我们引入并简要研究了巴拿赫环 $R$ 中元素 $u$ 的 Berkovich 谱 $\sigma^{Ber}_R(u)$。该谱是 $\mathbb{Z}$ 上仿射解析空间 $\mathbb{A}_{\mathbb{Z}}^1$ 的一个紧子集，后者可等同于所有完备赋值域中所有元素的“等价类”。若 $R$ 作为含幺巴拿赫环由 $u$ 生成，则 $\sigma^{Ber}_R(u)$ 与 $R$ 的谱（由 Berkovich 定义）一致。若 $R$ 是含幺复巴拿赫代数，则 $\sigma^{Ber}_R(u)$ 是通常谱 $\sigma_B(u)$ 沿实轴的“折叠”。对于一个非阿基米德完备赋值域 $k$ 和一个具有正交基的无穷维超度量 $k$-巴拿赫空间 $E$，若 $u\in L(E)$ 是一个全连续算子，我们证明定义 $u$ 的谱的多种不同方式均给出相同的紧集 $\sigma^{Ber}_{L(E)}(u)$。作为一个应用，我们给出了 Fredholm 行列式 $\det(1- t\cdot u)$（由 Serre 定义）的零点在 $k$ 的完备赋值域扩张中的赋值的下界。利用这一点，我们给出一个全连续算子的具体例子，其 Fredholm 行列式在 $k$ 的任何完备赋值域扩张中均无零点。