张量奇异元组与特征对的免基分析

应用数学中的一个张量通常定义为数的多维数组。这预设了在 $\mathbb{R}^n$ 或某个其他向量空间中对基的选择,并且张量概念相应地被定义。在本文中,我们内在地、不参照基地定义张量的特征值、特征向量、奇异值和奇异向量。免基方法有几个优点。首先,它更清晰地显示了张量分析与抽象代数、微分拓扑和代数几何等纯数学领域之间的关系。其次,它免除了证明一个以坐标定义的概念独立于基选择的必要。第三,内在定义通常在概念上更简单。作为示例,我们展示了微分拓扑中的 Morse 理论如何用于分析对称张量的特征值与特征向量。我们也重新证明了几个在免基方法下显然、否则不然的结果。