由神经网络构成的Lebesgue空间基
泛函分析
2025-12-01 v1
摘要
Daubechies、DeVore、Foucart、Hanin和Petrova于2022年引入的单变量分段线性函数序列类似于经典傅里叶基，同时可以轻易由具有ReLU激活函数的人工神经网络复现。我们提供了一种计算该系统中函数内积的替代方法，并讨论了该系统生成的格拉姆矩阵的谱特性。该单变量系统后来被扩展到多变量情境，由本工作的两位作者实现。与通常的张量积构造不同，这种扩展依赖于单变量序列函数参数内的内积。结果发现，该系统对于每一个n≥1的L2(0,1)^n形成一个里茨基基，里茨常数独立于n。在本工作中，我们研究了这些新函数序列在Lq(0,1)^n中（q≠2）的性质。首先，我们证明了单变量系统在Lq(0,1)中（1<q<∞）为Schauder基。由一般论证可得，张量积系统也在Lq(0,1)^n中（n≥2，1<q<∞）形成Schauder基。相同事实还可以通过测量张量积系统与经典多变量傅里叶基之间的距离来表现，但——惊讶地——该论证仅适用于n≤3。如果另一方面，我们用单变量序列函数参数内的内积直接取代外张量积，该方法同样适用于任意维度n∈N。
关键词
引用
@article{arxiv.2511.23179,
title = {Bases of Lebesgue spaces formed by neural networks},
author = {Vladimir Kulbatov and Jan Lang and Cornelia Schneider and Jan Vybíral},
journal= {arXiv preprint arXiv:2511.23179},
year = {2025}
}