能带表示、能带连通性与不可约性

由Zak在80年代提出的BR（能带表示）被广泛用于材料拓扑相研究。EBR（初等能带表示）被视为TQC（拓扑量子化学）的构建模块。然而，关于它们是否允许能带分裂，或是否包含能带不变子空间，一直存在争论。本手稿给出了基函数的清晰定义，并阐明能带变换性质依赖于能带连通性。讨论了由同一组局域Wannier函数诱导的BR定义中两种不同的傅里叶变换约定，并确认其通过简单的规范变换相关联。TB BR（紧束缚能带表示）被用于借助群论技术推导TB哈密顿量的形式。EBR的变换性质允许按空间群不可约表示显式分解，并使用投影算符确定对称允许的能带连通性。研究表明，由具有多重度的Wyckoff位置产生的EBR可具有多个原子极限，并明确识别在布里渊区（BZ）表面高对称点在什么情况下决定能带连通性及连通能带的不可约性质。此类多重构型源于在这些高对称点对表示矩阵进行块对角化的多种途径。对称允许的连通性允许存在称为不可约能带表示（IBR）的动态能带不变子空间。此类IBR由位于Wyckoff位置轨道线性组合中心处的Wannier函数诱导，也可源于复合EBR之间的相互作用。它们根植于具有多重度Wyckoff位置晶体学轨道的置换对称性，即便母EBR被分类为不可分解时也可能出现。当发生对称允许的分裂EBR（其不对应于连通IBR之间的划分）时，能带在能隙两侧的拓扑可能是非平凡的。