能带表示的晶体学分裂定理与脆弱拓扑光子晶体

能带理论的基本构建块是能带表示（BRs）：其无限编号的万尼尔函数是由有限数量的、中心位于空间某点的对称万尼尔函数（通过空间群的作用）生成的能带。本工作旨在通过将多秩BR分裂为单位秩能带，来简化关于多秩BR的问题，这通过以下晶体学分裂定理实现：一个秩为$N$的BR等价于可分裂为有限个由$\{1,2,\ldots,N\}$索引的能带之和，使得每个能带由一个单一的、解析的$k$的布洛赫函数张成，并且空间群中的任何对称性都通过置换$\{1,2,\ldots,N\}$来作用。应用这一定理，我们开发了计算效率高的方法来确定一个给定的能带（来自紧束缚或薛定谔哈密顿量）是否是一个BR，如果是，如何数值构造相应的对称万尼尔函数。因此，我们证明了AI类中的旋转对称拓扑绝缘体是脆弱的，这意味着对称万尼尔函数的阻碍可以通过添加BRs来移除。脆弱性的一个含义是，其边界态虽然在有限秩紧束缚模型中稳健地覆盖了体能隙，但如果希尔伯特空间被扩展以包含所有对称性允许的表示，则是不稳定的。这些脆弱绝缘体具有我们识别出的光子类似物；特别是，我们证明了杨等人[Nature 565, 622 (2019)]构建的一个现有光子晶体是脆弱拓扑的，具有可移除的表面态，这反驳了关于时间反演不变、有能隙的光子/声子晶体中“拓扑保护”表面态的普遍看法。我们的定理最终被应用于推导拓扑绝缘体万尼尔函数上的各种对称性阻碍，并证明它们与布洛赫函数非平凡和乐性的等价性。