$\rm SL_n (\mathbb{Z})$的Banach性质(T)及其应用

我们证明了一大族高阶单李群（包括$n \geq 3$时的$\rm SL_n (\mathbb{R})$）及其格点对全部超自反Banach空间具有Banach性质(T)。该结果有两个推论：首先，我们推导出一大族高阶单李群对全部超自反Banach空间的Banach不动点性质。例如，我们证明对每个$n \geq 4$，群$\rm SL_n (\mathbb{R})$及其所有格点具有对全部超自反Banach空间的Banach不动点性质。其次，我们解决了一个长期悬而未决的开放问题，证明Margulis扩展图（固定$n \geq 3$、$m$趋于无穷时的$\rm SL_{n} (\mathbb{Z} / m \mathbb{Z} )$的Cayley图）是超扩展器。我们所有结果均源于证明$\rm SL_3 (\mathbb{Z})$的Banach性质(T)。我们对$\rm SL_3 (\mathbb{Z})$的证明方法依赖于对$\rm SL_3 (\mathbb{Z})$单三角子群相对Banach性质(T)的新证明。该相对性质(T)的证明即使在经典Hilbert情形下也是新的，且本身具独立意义。