平衡的完美哈希函数族及其应用

完美哈希函数的构造是一个研究充分的课题。本文通过以下定义推广了这一概念：若对于每个 $S \subseteq [n]$ 且 $|S|=k$，在 $S$ 上为单射的函数数量介于 $T/\delta$ 和 $\delta T$ 之间（其中 $T>0$ 为某常数），则称从 $[n]$ 到 $[k]$ 的函数族为 $\delta$-平衡 $(n,k)$-完美哈希函数族。完美哈希函数族的标准定义要求对于每个大小为 $k$ 的 $S$，至少存在一个在 $S$ 上为单射的函数。而在平衡族的新概念中，我们要求对于每个这样的 $S$，单射函数的数量几乎相同（即取 $\delta$ 接近 1）。我们的主要结果是：对于任意常数 $\delta > 1$，可以在 $2^{O(k \log \log k)} n \log n$ 的时间内构造出大小为 $2^{O(k \log \log k)} \log n$ 的 $\delta$-平衡 $(n,k)$-完美哈希函数族。利用颜色编码（color-coding）技术，我们可以应用我们的显式构造来设计用于解决图中各类计数问题的近似算法。特别是，我们展示了一种确定性多项式时间算法，用于近似具有 $n$ 个顶点的图中长度为 $k$ 的简单路径数量和大小为 $k$ 的简单环数量，适用于任何 $k \leq O(\frac{\log n}{\log \log \log n})$。该近似可达到任意固定的期望相对误差。