竖直 Cantor 集上的劣逼近向量

对于 $i, j > 0, i + j = 1$，带有权重 $(i, j)$ 的劣逼近向量集定义为 $Bad(i, j) = \{(x, y) \in \R^2 : \exists c > 0 \forall q\in\N, \;\; \max\{q||qx||^{1/i}, q||qy||^{1/j} \} > c\}$，其中 $||x||$ 是 $x$ 到最近整数的距离。2010 年，Badziahin-Pollington-Velani 解决了 1982 年提出的 Schmidt 猜想，证明了 $Bad(i, j) \cap Bad(j, i)$ 非空。利用 Badziahin-Pollington-Velani 关于分形集的技术，我们能够改进他们的结果：假设给定一个序列 $(i_t, j_t)$，满足 $i_t, j_t > 0, i_t + j_t = 1$。那么，对所有 $t$ 取 $Bad(i_t, j_t)$ 的交集是非空的。