格子多边形的平均尺寸和正常尺寸的微型图

设 $d \geq 0$ 为整数，设 $P \subset \mathbb{R}^d$ 为 $d$ 维格子多边形。我们称满足 $M \subset P$ 且 $M \sim P$ 的多边形 $M \subset \mathbb{R}^d$ 为 $P$ 的 miniature（微型图），若 $M$ 通过平移和缩放变换为 $P$，则称其为 horizontal（水平的）。若 $M$ 的体积等于其 $n$-th 项为所有 miniature 体积平均值序列的极限（resp. 为所有水平 miniature 体积平均值序列的极限），则称 $M$ 为 average-sized（平均尺寸的）（resp. normal-sized（正常尺寸的））。我们证明，对任何格子正方形 $P \subset \mathbb{R}^2$，平均尺寸的 miniature 面积与 $P$ 面积之比为 $2:15$。我们也证明，对任何格子单纯形 $P \subset \mathbb{R}^d$，正常尺寸的 miniature 体积与 $P$ 体积之比为 $1:\binom{2d+1}{d}$。该比例与作者先前对超立方体 $[0,1]^d$ 的结果相同。