本质簇的平均次数

本质簇是实射影空间 $\mathbb R\mathrm P^{8}$ 中维数为 $5$ 的代数子簇，它编码了两个已标定针孔相机的相对位姿。计算机视觉中的 $5$ 点算法计算本质簇与余维数为 $5$ 的线性空间之交的实点。本质簇的次数为 $10$，因此该交集一般由 10 个复点组成。我们计算当线性空间随机时实交点的期望个数。我们关注线性空间的两种概率分布。第一种分布在下述作用于 $\mathbb R\mathrm P^{8}$ 中线性空间的 orthogonal group $\mathrm{O}(9)$ 作用下不变。在此情形下，实交点的期望个数等于 $4$。第二种分布受计算机视觉启发，由在像平面 $\mathbb R\mathrm P^2\times \mathbb R\mathrm P^2$ 上均匀随机选取 5 个点对应来定义。蒙特卡洛计算表明，该期望值以高概率落在区间 $(3.95 - 0.05,\ 3.95 + 0.05)$ 内。