自动结构、有理增长与几何有限双曲群

我们证明：在几何有限双曲群 $G$ 上，同步自动结构等价类的集合 $SA(G)$ 在全部极大抛物子群 $P$ 上的集合 $SA(P)$ 之积中稠密。在 $G$ 上的双自动结构等价类的集合 $BSA(G)$ 同构于在 $G$ 的尖点（$G$ 的极大抛物子群共轭类）上的集合 $BSA(P)$ 之积。每个极大抛物子群 $P$ 是 virtually abelian 群，因此 $SA(P)$ 与 $BSA(P)$ 已在 M.Shapiro 与 W.Neumann 的《等价的自动结构及其边界》（Intern. J. of Alg. Comp. 2 (1992)）中算出。我们证明任意几何有限双曲群有一生成集，使得 $G$ 的测地线的全语言是正则的。此外，$G$ 关于该生成集的增长函数是 rational 的。我们也确定了此类群上哪些自动结构等价于测地线自动结构。并非全部都是，但所有双自动结构都是。